Угол между плоскостопием

Задания по теме «Угол между плоскостями»

Открытый банк заданий по теме угол между плоскостями. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Тема: Угол между плоскостями

Дана правильная призма ABCDA_1B_1C_1D_1, M и N — середины ребер AB и BC соответственно, точка K — середина MN .

а) Докажите, что прямые KD_1 и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями MND_1 и ABC , если AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

а) В \triangle DCN и \triangle MAD имеем: \angle C=\angle A=90^<\circ>, CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

Отсюда \triangle DCN=\triangle MAD по двум катетам. Тогда MD=DN, \triangle DMN равнобедренный. Значит, медиана DK — является также высотой. Следовательно, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND по условию, D_1K — наклонная, KD — проекция, DK \perp MN.

Отсюда по теореме о трех перпендикулярах MN\perp D_1K.

б) Как было доказано в а), DK \perp MN и MN \perp D_1K, но MN — линия пересечения плоскостей MND_1 и ABC , значит \angle DKD_1 — линейный угол двугранного угла между плоскостями MND_1 и ABC .

В \triangle DAM по теореме Пифагора DM= \sqrt = \sqrt <64+16>= 4\sqrt 5, MN= \sqrt = \sqrt <16+16>= 4\sqrt 2. Следовательно, в \triangle DKM по теореме Пифагора DK= \sqrt = \sqrt <80-8>= 6\sqrt 2. Тогда в \triangle DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac=\frac<6\sqrt 2><6\sqrt 2>=1.

Значит, \angle DKD_1=45^<\circ>.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 стороны основания равны 4 , боковые рёбра равны 6 . Точка M — середина ребра CC_1, на ребре BB_1 отмечена точка N , такая, что BN:NB_1=1:2.

а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD_1?

б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN .

а) Плоскость AMN пересекает ребро DD_1 в точке K , являющейся четвёртой вершиной сечения данной призмы этой плоскостью. Сечением является параллелограмм ANMK , потому что противоположные грани данной призмы параллельны.

BN =\frac13BB_1=2. Проведём KL \parallel CD, тогда треугольники ABN и KLM равны, значит ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Тогда KD_1=6-1=5. Теперь можно найти отношение KD:KD_1=1:5.

б) F — точка пересечения прямых CD и KM . Плоскости ABC и AMN пересекаются по прямой AF . Угол \angle KHD =\alpha — линейный угол двугранного угла ( HD\perp AF, тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, KH \perp AF ) , и является острым углом прямоугольного треугольника KHD , катет KD=1.

Треугольники FKD и FMC подобны (KD \parallel MC), поэтому FD:FC=KD:MC, решая пропорцию FD:(FD+4)=1:3, получим FD=2. В прямоугольном треугольнике AFD (\angle D=90^<\circ>) с катетами 2 и 4 вычислим гипотенузу AF=\sqrt <4^2+2^2>=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac<4\cdot 2><2\sqrt 5>= \frac4<\sqrt 5>.

В прямоугольном треугольнике KHD найдём tg \alpha =\frac=\frac<\sqrt 5>4, значит, искомый угол \alpha =arctg\frac<\sqrt 5>4.

Дана правильная четырёхугольная пирамида KMNPQ со стороной основания MNPQ , равной 6 , и боковым ребром 3\sqrt <26>.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую NF параллельно диагонали MP , если точка F — середина ребра MK .

б) Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью KMP .

а) Пусть KO — высота пирамиды, F — середина MK ; FE \parallel MP ( в плоскости PKM ) . Так как FE — средняя линия \triangle PKM, то FE=\frac2.

Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через NF и параллельной MP , то есть плоскостью NFE . L — точка пересечения EF и KO . Так как точки L и N принадлежат искомому сечению и лежат в плоскости KQN , то точка T , полученная как пересечение LN и KQ , является также точкой пересечения искомого сечения и ребра KQ . NETF — искомое сечение.

б) Плоскости NFE и MPK пересекаются по прямой FE . Значит, угол между этими плоскостями равен линейному углу двугранного угла OFEN , построим его: LO \perp MP, MP \parallel FE, следовательно, LO \perp FE; \triangle NFE — равнобедренный ( NE=NF как соответствующие медианы равных треугольников KPN и KMN ) , NL — его медиана ( EL=LF, так как PO=OM, а \triangle KEF \sim \triangle KPM ) . Отсюда NL \perp FE и \angle NLO — искомый.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON — прямоугольный.

Катет KO по теореме Пифагора равен KO=\sqrt .

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt= \frac12\sqrt <9\cdot 26-9\cdot 2>= \frac12\sqrt<9(26-2)>= \frac32\sqrt <24>= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_<1>B_<1>C_ <1>равны 6 . Через середины рёбер AC и BB_ <1>и вершину A_ <1>проведена секущая плоскость.

а) Докажите, что ребро BC делится секущей плоскостью в отношении 2:1, считая от вершины C .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

а) Пусть D и E — середины ребер AC и BB_ <1>соответственно.

В плоскости AA_<1>C_ <1>проведем прямую A_<1>D, которая пересекает прямую CC_ <1>в точке K , в плоскости BB_<1>C_ <1>— прямую KE , которая пересекает ребро BC в точке F . Соединие точки A_ <1>и E , лежащие в плоскости AA_<1>B_<1>, а также D и F , лежащие в плоскости ABC , получим сечение A_<1>EFD.

\bigtriangleup AA_<1>D=\bigtriangleup CDK по катету AD=DC и острому углу.

\angle ADA_<1>=\angle CDK — как вертиальные, отсюда следует, что AA_<1>=CK=6. \bigtriangleup CKF и \bigtriangleup BFE подобны по двум углам \angle FBE=\angle KCF=90^\circ, \angle BFE=\angle CFK — как вертикальные.

\frac=\frac<6><3>=2, то есть коэффициент подобия равен 2 , откуда следует, что CF:FB=2:1.

б) Проведём AH \perp DF. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу AHA_<1>. Действительно, отрезок AH \perp DF ( DF — линия пересечения этих плоскостей ) и является проекцией отрезка A_<1>H на плоскость основания, следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах, A_<1>H \perp DF. \angle AHA_<1>=arctg\frac>. AA_<1>=6.

Найдём AH . \angle ADH =\angle FDC (как вертикальные).

По теореме косинусов в \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac<1><2>=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF \cdot DC \cdot \cos \angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt <13>\cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

По следствию из основного тригонометрического тождества

Основанием прямой призмы ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>является ромб с тупым углом B , равным 120^\circ. Все ребра этой призмы равны 10 . Точки P и K — середины ребер CC_ <1>и CD соответственно.

а) Докажите, что прямые PK и PB_ <1>перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями PKB_ <1>и C_<1>B_<1>B.

а) Будем использовать метод координат. Найдём скалярное произведение векторов \vec и \vec>, а затем косинус угла между этими векторами. Направим ось Oy вдоль CD , ось Oz вдоль CC_<1>, и ось Ox \perp CD . C — начало координат.

Тогда C (0;0;0); C_<1>(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), то есть B(5\sqrt<3>; 5;0), B_<1>(5\sqrt<3>; 5;10).

Пусть угол между \vec и \vec> равен \alpha.

\cos \alpha =0, значит, \vec \perp \vec> и прямые PK и PB_ <1>перпендикулярны.

б) Угол между плоскостями равен углу между ненулевыми векторами, перпендикулярными этим плоскостям (или, если угол тупой, смежному с ним углу). Такие векторы называют нормалями к плоскостям. Найдём их.

Пусть \vec>=\ перпендикулярен плоскости PKB_<1>. Найдем его, решив систему \begin \vec> \perp \vec, \\ \vec> \perp \vec>. \end

\begin 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt<3>x+5y+5z=0; \end

Пусть \vec>=\ перпендикулярен плоскости C_<1>B_<1>B. Найдем его, решив систему \begin \vec> \perp \vec>, \\ \vec> \perp \vec. \end

\begin 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt<3>x+5y+0z=0; \end

Найдем косинус искомого угла \beta (он равен модулю косинуса угла между \vec> и \vec> ).

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>на ребре AA_ <1>взята точка M так, что AM:MA_<1>=2:3.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D и M параллельно диагонали основания AC .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если AA_<1>=5\sqrt<6>, AB=4.

а) По условию ABCDA_<1>B_<1>C_<1>D_ <1>— правильная призма, это означает, что основание ABCD — квадрат и боковые грани — равные прямоугольники.

Так как плоскость сечения проходит через точки M и D параллельно диагонали AC , то для её построения в плоскости A_<1>AC через точку M проведём отрезок MN параллельный AC . Получим AC \parallel (MDN) по признаку параллельности прямой и плоскости.

Плоскость MDN пересекает параллельные плоскости A_<1>AD и B_<1>BC, тогда, по свойству параллельных плоскостей, линии пересечения граней A_<1>ADD_ <1>и B_<1>BCC_ <1>плоскостью MDN параллельны.

Проведём отрезок NE параллельно отрезку MD .

Четырехугольник DMEN — искомое сечение.

б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Пусть плоскость сечения пересекает плоскость основания по некоторой прямой p , проходящей через точку D . AC \parallel MN, следовательно, AC \parallel p (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна этой прямой). BD \perp AC как диагонали квадрата, значит, BD \perp p. BD — проекция ED на плоскость ABC , тогда по теореме о трех перпендикулярах ED \perp p, следовательно, \angle EDB — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Установим вид четырехугольника DMEN . MD \parallel EN, аналогично ME \parallel DN, значит, DMEN — параллелограмм, а так как MD=DN (прямоугольные треугольники MAD и NCD равны по двум катетам: AD=DC как стороны квадрата, AM=CN как расстояния между параллельными прямыми AC и MN ), следовательно, DMEN — ромб. Отсюда, F — середина MN .

По условию AM:MA_<1>=2:3, тогда AM=\frac<2><5>AA_<1>=\frac<2> <5>\cdot 5\sqrt<6>=2\sqrt<6>.

AMNC — прямоугольник, F — середина MN , O — середина AC . Значит, FO\parallel MA, FO \perp AC, FO=MA=2\sqrt<6>.

Зная, что диагональ квадрата равна a\sqrt<2>, где a — сторона квадрата, получим BD=4\sqrt<2>. OD=\frac<1><2>BD=\frac<1> <2>\cdot 4\sqrt<2>=2\sqrt<2>.

В прямоугольном треугольнике FOD\enspace tg \angle FDO=\frac=\frac<2\sqrt<6>><2\sqrt<2>>=\sqrt<3>. Следовательно, \angle FDO=60^\circ.

Как найти угол между плоскостями?

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов можно считать углом между плоскостями. Иными словами, острый или тупой угол получится – не имеет значения.

Обозначим угол между плоскостями через : Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтомуугол между плоскостями равен углу между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на урокеСкалярное произведение векторов:

Распишем формулу в коэффициентах:

И всего-то. Формула простецкая, придумаем задачку поинтереснее:

Найти угол между плоскостями

Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё.

Взаимное расположение трёх плоскостей

Три плоскости могут располагаться в пространстве 8-ю способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение.

Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты!

На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве.

Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам: Ответ:

Пример 7: Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси , то вектор является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке и вектору нормали : Ответ:

Пример 11: Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два: Используем формулу Ответ:

Угол между прямой и плоскостью

На этом уроке мы введем понятие угла между прямой и плоскостью, дадим его строгое определение и решим задачи, в которых будет встречаться данный угол.

Наверняка вы слышали такое выражение: «Солнечный луч падает под углом…». (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Падает солнечный луч

По сути, здесь идет речь об угле между прямой, частью которой является луч, и «плоскостью» земной поверхности (хотя она, конечно, не совсем плоская).

Мы привыкли, что угол бывает между двумя лучами (см. Рис. 2) или прямыми (см. Рис. 3).

Рис. 2. Угол между лучами

Рис. 3. Угол между прямыми

Как же определить угол между прямой и плоскостью?

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция (см. Рис. 4).

Рис. 4. Угол между прямой и плоскостью

Так, проекции всех точек данной прямой будут лежать на одной прямой.

Пусть – точка пересечения прямой и плоскости , и – точки на прямой , и – их проекции на плоскость . Докажем, что , и лежат на одной прямой . (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Заметим, что , так как , . Значит если рассмотреть плоскость , то точки и будут принадлежать ей. Но плоскость пересекает исходную плоскость по некоторой прямой. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Пересечение плоскостей

Значит раз точки , и принадлежат обеим плоскостям, то они лежат на этой прямой, что и требовалось доказать.

То есть мы свели новое определение к углу между прямыми, который мы уже знаем.

Обратите внимание на частую ошибку, которую допускают ученики. Углом между прямой и плоскостью называется угол именно между прямой и ее проекцией, а не между прямой и любой прямой в плоскости. Потому как такие углы могут быть разными.

А) Найдите угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру А

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – это угол (см. Рис. 9), а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

Рис. 9. Искомый угол

Обратите внимание, что если взять вместо другую прямую из плоскости основания, например , то угол будет другим – в данном случае , так как треугольник равносторонний (все стороны – диагонали граней). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Угол в равностороннем треугольнике

Так что угол между прямой и плоскостью – это совсем не угол между прямой и любой прямой в плоскости.

Б) Чему равен угол между и ? (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация к примеру Б

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания (см. Рис. 12).

Рис. 12. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – (см. Рис. 13).

Рис. 13. Искомый угол

Его можно найти из треугольника (см. Рис. 14).

Рис. 14. Треугольник

Треугольник прямоугольный, т. к. , , значит, (см. Рис. 15).

Рис. 15. Выносной рисунок треугольника

Если взять сторону куба за , тогда , и .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Вспомните, что расстояние от точки до плоскости – это кратчайший из отрезков, соединяющий исходную точку с точкой плоскости. Подобное верно и для угла: угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Пусть прямая пересекает плоскость в точке , – проекция на плоскость, а – произвольная прямая в плоскости, проходящая через . Пусть также – перпендикуляр на прямую . (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к доказательству

Тогда несложно видеть, что а . Так как – кратчайшее расстояние от точки до плоскости, то , а значит, .

Найдите угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и ее основанием, если все ее ребра равны . (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Иллюстрация к примеру

Пусть – центр основания пирамиды . Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. вершина правильной пирамиды проектируется в центр основания. Тогда искомый угол – . (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Искомый угол

( – половина диагонали квадрата ), . Значит, , то есть искомый угол .

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны . Найти угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Иллюстрация к условию задачи

Сперва заметим, что, если параллельно перенести прямую , искомый угол не поменяется. Рассмотрим и – середины и соответственно. Тогда можно вместо искать угол между и плоскостью. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Искомый угол – угол между и плоскостью

Далее, заметим, что – проекция точки – попадет на . Действительно, по теореме о трех перпендикулярах, раз и , то есть проекция . А тогда искомый угол – (См. Рис. 21.)

Рис. 21. Искомый угол –

Рассмотрим треугольник . , . Тогда если – середина , то и значит, . (См. Рис. 22.)

Рис. 22. Выносной рисунок

На этом уроке мы познакомились с таким понятием, как угол между прямой и плоскостью. Выяснили, что этот угол определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Также выяснили, что не стоит путать угол между прямой и ее проекцией с углом между прямой и произвольной прямой данной плоскости. Узнали, что угол между прямой и проекцией является наименьшим из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости. Решили несколько задач, где наглядно продемонстрировали использование введенного определения.

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

2. Погорелов А.В. Геометрия 10 класс. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014.

3. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 класс. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт resolventa.ru (Источник)

2. Интернет-сайт school.xvatit.com (Источник)

3. Интернет-сайт 100ballov.kz (Источник)

1. Длина отрезка равна . Он пересекает плоскость в точке . Расстояния от концов отрезка до плоскости соответственно равны и . Найдите острый угол, который образует отрезок с плоскостью.

2. Прямая , проведенная из точки к данной плоскости, равна . Чему равна проекция этой прямой на плоскость, если угол между прямой и данной плоскостью равен ?

3. Под углом к плоскости проведена прямая. Найдите , если известно, что проекция прямой вдвое меньше самой прямой.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

\(\blacktriangleright\) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой \(a\) , которая является их общей границей.

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) , нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) :

Шаг 1: пусть \(\xi\cap\pi=a\) (линия пересечения плоскостей). В плоскости \(\xi\) отметим произвольную точку \(F\) и проведем \(FA\perp a\) ;

Шаг 2: проведем \(FG\perp \pi\) ;

Шаг 3: по ТТП ( \(FG\) – перпендикуляр, \(FA\) –наклонная, \(AG\) – проекция) имеем: \(AG\perp a\) ;

Шаг 4: угол \(\angle FAG\) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) .

Заметим также, что плоскость \(AFG\) , построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям \(\xi\) и \(\pi\) . Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями \(\xi\) и \(\pi\) — это угол между двумя пересекающимися прямыми \(c\in \xi\) и \(b\in\pi\) , образующими плоскость, перпендикулярную и \(\xi\) , и \(\pi\) .

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите \(6\cos \alpha\) , где \(\alpha\) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть \(SABCD\) – данная пирамида ( \(S\) – вершина), ребра которой равны \(a\) . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями \(SAD\) и \(SCD\) .

Так как в основании лежит квадрат, то \(AC=a\sqrt2\) . Заметим также, что \(CH=AH\) – высота равностороннего треугольника со стороной \(a\) , следовательно, \(CH=AH=\frac<\sqrt3>2a\) .

Тогда по теореме косинусов из \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac<2CH\cdot AH>=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются под углом, косинус которого равен \(0,2\) . Плоскости \(\pi_2\) и \(\pi_3\) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей \(\pi_1\) и \(\pi_2\) параллельна линии пересечения плоскостей \(\pi_2\) и \(\pi_3\) . Найдите синус угла между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_3\) .

Пусть линия пересечения \(\pi_1\) и \(\pi_2\) – прямая \(a\) , линия пересечения \(\pi_2\) и \(\pi_3\) – прямая \(b\) , а линия пересечения \(\pi_3\) и \(\pi_1\) – прямая \(c\) . Так как \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” \(\rightarrow\) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Действительно, так как \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) перпендикулярна плоскости \(ABC\) . Так как \(c\parallel a\parallel b\) , то прямые \(a\) и \(c\) тоже перпендикулярны плоскости \(ABC\) , а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой \(AC\) .

Отсюда следует, что \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\) , \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\) , \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\) . Получается, что \(\triangle ABC\) прямоугольный, а значит \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Даны прямые \(a, b, c\) , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен \(60^\circ\) . Найдите \(\cos^<-1>\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостью, образованной прямыми \(a\) и \(c\) , и плоскостью, образованной прямыми \(b\) и \(c\) . Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке \(O\) . Так как угол между любыми двумя их них равен \(60^\circ\) , то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой \(a\) точку \(A\) и проведем \(AB\perp b\) и \(AC\perp c\) . Тогда \(\triangle AOB=\triangle AOC\) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, \(OB=OC\) и \(AB=AC\) .

Проведем \(AH\perp (BOC)\) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Так как \(AB=AC\) , то \(\triangle AHB=\triangle AHC\) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, \(HB=HC\) . Значит, \(OH\) – биссектриса угла \(BOC\) (так как точка \(H\) равноудалена от сторон угла).

Найдем этот угол. Так как точку \(A\) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что \(OA=2\) . Тогда в прямоугольном \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt=1.\] Так как \(OH\) – биссектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , следовательно, в прямоугольном \(\triangle HOC\) : \[\mathrm\,30^\circ=\dfrac\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1<\sqrt3>.\] Тогда из прямоугольного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^<-1>\alpha=3.\]

Плоскости \(\pi_1\) и \(\pi_2\) пересекаются по прямой \(l\) , на которой лежат точки \(M\) и \(N\) . Отрезки \(MA\) и \(MB\) перпендикулярны прямой \(l\) и лежат в плоскостях \(\pi_1\) и \(\pi_2\) соответственно, причем \(MN = 15\) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Найдите \(3\cos\alpha\) , где \(\alpha\) – угол между плоскостями \(\pi_1\) и \(\pi_2\) .

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\) , точка \(M\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A_1\) на плоскость \((ABCD)\) , кроме того \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\) . Известно, что \(A_1M = \dfrac<\sqrt<3>><2>a\) . Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) . Ответ дайте в градусах.

Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как показано на рисунке.

Так как \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\) и \(MN\perp AB\) и \(BC\perp AB\) , то \(MN\parallel BC\) . Так как \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата, то \(M\) – середина \(AC\) , следовательно, \(MN\) – средняя линия и \(MN =\frac12BC= \frac<1><2>a\) .

\(MN\) – проекция \(A_1N\) на плоскость \((ABCD)\) , причем \(MN\) перпендикулярен \(AB\) , тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\) перпендикулярен \(AB\) и угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) есть \(\angle A_1NM\) .

В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(ABC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) и \(\triangle SDO\) равны по двум сторонам и углу между ними ( \(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\) ; \(AO = DO\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) – равнобедренный. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскостям \(ASD\) и \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac<1><2>\cdot AB = \frac<1><2>\cdot 10 = 5 = SO\) \(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

В квадрате \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей; \(S\) – не лежит в плоскости квадрата, \(SO \perp ABC\) . Найдите угол между плоскостями \(ASD\) и \(BSC\) , если \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .

Прямоугольные треугольники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) и \(\triangle SOC\) равны по двум сторонам и углу между ними ( \(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\) ; \(AO = OD = OB = OC\) , т.к. \(O\) – точка пересечения диагоналей квадрата, \(SO\) – общая сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) и \(\triangle BSC\) – равнобедренные. Точка \(K\) – середина \(AD\) , тогда \(SK\) – высота в треугольнике \(\triangle ASD\) , а \(OK\) – высота в треугольнике \(AOD\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOK\) перпендикулярна плоскости \(ASD\) . Точка \(L\) – середина \(BC\) , тогда \(SL\) – высота в треугольнике \(\triangle BSC\) , а \(OL\) – высота в треугольнике \(BOC\) \(\Rightarrow\) плоскость \(SOL\) (она же плоскость \(SOK\) ) перпендикулярна плоскости \(BSC\) . Таким образом получаем, что \(\angle KSL\) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\) \(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\) . Можно заметить, что \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\) \(\Rightarrow\) для треугольника \(\triangle KSL\) выполняется обратная теорема Пифагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) – прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\circ\) .

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.

Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.

Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.

Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.

Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

Урок геометрии в 10-м классе по теме "Угол между прямой и плоскостью"

Урок геометрии в 10 классе по теме «Угол между прямой и плоскостью»

Подготовила -учитель математики МОУ Рековичской средней школы

Михалева Людмила Ивановна

  • ввести понятие угла между прямой и плоскостью
  • научить строить угол между прямой и плоскостью при работе с многогранниками
  • обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения
  • развивать пространственное мышление, умение работать с компьютером
  • воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.
  • мультимедийный проектор, интерактивная доска.
  • Презентация (Приложение 1)
  • Работать с презентацией лучше в интерактивном режиме OFFICE. Это позволит выполнять прямо в презентации необходимые пометки, записи, строить углы при выполнении лабораторной работы. Так же, по мере необходимости, можно добавлять новые слайды прямо в показе.

    Мотив. В геометрии, при работе с геометрическими фигурами, нас, прежде всего, интересует их взаимное расположение.

    Каким может быть взаимное расположение двух прямых в пространстве? (Прямые могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться).

    Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве? (Прямая и плоскость могут пересекаться, быть параллельны или прямая может лежать в плоскости).

    Если мы говорим о двух прямых, то одной из характеристик их взаимного расположения является угол между ними. Так, если прямые параллельны, то угол между ними считают равным 0°, если они перпендикулярны, то — 90°. А если прямые скрещиваются, то, как найти угол между ними? (Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, параллельными им).

    Решение задач на готовых чертежах (Слайд 2-4)

    Сегодня на уроке мы познакомимся с новым понятием — угол между прямой и плоскостью (Слайд 5).

    Геометрия полна приключений, потому, что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

    Сегодня мы отправляемся в одно из таких приключений.

    Задайте пожалуйста вопросы по теме урока.

    Учащиеся задают вопросы по теме урока. Эти вопросы являются целепологанием для учащихся.

    Ученики могут предложить следующие вопросы (Слайд 6)

  • Что называется углом между прямой и плоскостью?
  • Как построить угол между прямой и плоскостью?
  • В каких задачах может потребоваться угол между прямой и плоскостью?
  • Как обозначить этот угол?
  • Наша задача найти ответы на все ваши вопросы.

    Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

    Герберт Спенсер (1820-1903) английский философ и социолог

    Изучение нового материала

    (Слайд 8) Давайте вспомним как называется основание перпендикуляра, опущенного из т.А на плоскость a? (ортогональной проекцией).

    При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на чертеже. Введем сначала понятие проекции фигуры.

    Точка А1 – проекция точки А.

    Фигура F1 –проекция фигуры F ,если она состоит из всех проекций точек фигуры F.

    Вопрос: Как вы думаете, что будет являться проекцией прямой а на плоскость a?

    (Слайд9) (Может быть точкой, если а^a, а может быть прямой, если а^a)

    Показать возможные случаи на моделях, использовать карандаш и крышку стола.

    Докажем, что проекцией прямой а на плоскостьa, не перпендикулярную этой прямой, является прямая. ( Устно доказать по рисунку на слайде 10)

    Мы рассмотрели случай ортогонального проектирования (под углом 90°). Это частный случай параллельного проектирования.

    Откройте страницу 177 учебника и рассмотрите рисунок 182. Что бы задать параллельное проецирование достаточно задать плоскость p и прямую l (направление этого проецирования). Тогда для него справедливы следующие свойства:

    • Проекция прямой есть прямая
    • Проекция отрезка есть отрезок
    • Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой.
    • Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

    ? Проекции середины отрезка есть середина проекции отрезка.

    По ходу заполняем распечатку (Приложение 2);

    Обратите внимание, что при параллельном проецировании сохраняются только отношения сторон, если они параллельны, но не углы, значит, угол 90°мы изображаем на чертеже или острым или тупым.

    Используя модели, заполним распечатку (Слайд11).

    ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПРОЕЦИРОВАНИИ.

    АВС – прямоугольный треугольник или

    АВС- равносторонний ( равнобедренный) треугольник

    Вернемся к прямой и её проекции при ортогональном проецировании. Дадим определение углам между прямой и плоскостью.

    Определение. Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярно к ней, называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

    Как его построить? (Слайд 12 )

    (Записываем на доске план построения угла)

    Выберем другую прямую с, лежащую в плоскости a. <(с,а)=<j.

    Очевидно, что всегда <j0<<j.

    Если аiia, то а1iiа и понятие угла между прямой а и плоскости a не вводится.

    Иногда договариваются, считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью = 0°.(Слайд 14)

    Усвоение нового понятия. (Слайд 15)

    Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

    Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) Советский кораблестроитель, механик, математик, академик

    С каким новым понятием познакомились?( Угол между прямой и плоскостью)

    Что называется углом между прямой и плоскостью?( Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярно к ней, называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.)

    В стереометрических задачах часто приходится находить (строить) угол между прямой и плоскостью. Как же построить угол между прямой а и плоскостью a?

    Наша задача научиться находить (строить) угол между прямой и плоскостью при работе с многогранниками, обосновывать или опровергать выдвигаемые предположения.

    Помните, что для успешного решения задачи «недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!» Пойя. Д.(Слайд16)

    Выполнять лабораторную работу можно следующим образом. В каждом номере первое задание выполнять коллективно, остальные в парах. При этом первая справившаяся пара показывает свое решение средствами интерактивной доски прямо в презентации.

    Если класс слабый, то можно выполнять все построения у доски коллективно. При этом полезно задавать следующие вопросы:

  • В какой точке прямая пересекает плоскость?
  • Какая точка прямой не лежит в плоскости?
  • Какая точка является проекцией данной точки на плоскость?
  • Соедините эти точки. Полученная прямая — проекция прямой на плоскость.
  • Выделите цветом полученный угол.
  • Чем занимались на уроке?

    С чем познакомились?

    Как построить угол между прямой и плоскостью?

    Чему равен угол между прямой а и плоскостью a, если а^a,?

    Чему равен угол между прямой а и плоскостью a, если аiia,?

    Что не понравилось?

    1. Геометрия: Учеб. Для 10-11кл. сред.шк./Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, . — с.
    2. Дидактический материал по геометрии для 10-11 классов. Разрезные карточки по стереометрии/Составитель Г.И. Ковалёва – Волгоград: Учитель, 2003г.- 128с.
    3. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы/ Авт.-сост. Г.И. Ковалёва – Волгоград: Учитель, 2005г -128 с.

    Самостоятельная работа по геометрии «Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы»

    Задания можно использовать как отдельную контрольную или самостоятельную работу.

    Документ содержит четыре варианта по три задания в каждом для базового уровня.

    Весь материал — смотрите документ.

    Содержимое разработки

    1.В треугольнике АВС АС = СВ = 10 см, 0 , ВК – перпендикуляр к плоскости треугольника и равен см. Найдите расстояние от точки К до АС.

    2.В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O – центр ос­но­ва­ния, S– вер­ши­на, SO=15, BD=16. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SA.

    3.В тетраэдре DАВС ребро АD перпендикулярно к плоскости АВС, АС=АВ=10 см, ВС=12 см, АD=8 см. Найдите линейный угол двугранного угла АВСD.

    1.Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 см и 11 см.. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2 : 5.

    2. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка O – центр ос­но­ва­ния, S– вер­ши­на, SB=13, AC=24. Най­ди­те высоту SO.

    3. В тетраэдре DАВС ребро АD перпендикулярно к плоскости АВС, АС=АВ=10 см, ВС=18см, АD=12см. Найдите линейный угол двугранного угла АВСD.

    1.Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, длины которых равны 10 м и 11 м.. Найдите длину перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2 : 5.

    2.В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O – центр ос­но­ва­ния, S– вер­ши­на, SO=8, BD=30. Най­ди­те бо­ко­вое ребро SC

    3.В тетраэдре DАВС ребро СD перпендикулярно к плоскости АВС, АС=ВС=10 см, АВ=16 см, СD=6 см. Найдите линейный угол двугранного угла САВD

    1.Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, длины которых равны 10 м и 17 м.. Найдите длину перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2 : 5.

    2.В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка O – центр ос­но­ва­ния, S– вер­ши­на, SD=10, SO=6. Най­ди­те отрезка АС.

    3.В тетраэдре DАВС ребро ВД перпендикулярно к плоскости АВС, АВ=ВС=15 см, АС=24 см, ВD=9см. Найдите линейный угол двугранного угла ВАСD.

    Математический портал

    • Вы здесь:  
    • Home
    • Аналитическая геометрия
    • Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.
    • Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.

      Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

      Условие параллельности двух плоскостей:

      Плоскости $P_1$ и $P_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $\overline_1\parallel\overline_2\Leftrightarrow$ $\frac=\frac=\frac.$

      Условия перпендикулярности двух плоскостей:

      $P_1\perp P_2\Leftrightarrow$ $\overline_1\perp\overline_2\Leftrightarrow$ $\cdot+\cdot+C_1\cdot C_2=0.$

      Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $\overline_1=(A_1, B_1, C_1);$

      $P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $\overline_2=(A_2, B_2, C_2).$

      Вычислим угол между заданными плоскостями.

      $P_1: -x+2y-z+1=0, \Rightarrow\overline_1=(-1, 2, -1);$

      $P_2: y+3z-1=0, \Rightarrow\overline_2=(0, 1, 3).$

      Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

      $P_1: x-y+1=0, \Rightarrow\overline_1=(1, -1, 0);$

      $P_2: y-z+1=0, \Rightarrow\overline_2=(0, 1, -1).$

      2.196. Составить уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной к плоскостям $P_1: 2x-y+5z+3=0$ и $P_2: x+3y-z-7=0.$

      Для того, чтобы плоскость $P$ была перпендикулярно плоскостям $P_1$ и $P_2,$ достаточно, чтобы она была параллельна их нормалям $N_1$ и $N_2.$ Или, что тоже самое, перпендикулярна векторному произведению $[N_1, N_2]$

      $P_1: 2x-y+5z+3=0, \Rightarrow\overline_1=(2, -1, 5);$

      $P_2: x+3y-z-7=0, \Rightarrow\overline_2=(1, 3, -1).$

      Теперь выпишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной вектору $[N_1, N_2]=(-14, 7, 7):$

      В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1\parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае — косинус угла между ними.